Во всех случаях корректно написание со строчной буквы: в составе этих наименований нет имен собственных.
В русском языке это имя не склоняется.
Нет, женское имя Айгуль не склоняется.
Заплести кОсу – правильно. В слове коса в знач. 'заплетенные волосы' ударение в форме винительного падежа падает на о. Если коса в знач. 'сельскохозяйственное орудие', возможно: кОсу и косУ (предпочтительно косУ).
Корректно: авторское «я».
См. ответ на вопрос № 221381.
Верно: Царское Село.